导数练习（二）

已知实数 ，设 ：

1. 若 ，有两个不同实数 满足 ，求证 ；
2. 若存在实数 ，使得 有四个不同的实数根，求 的取值范围。

(1) 解：，则有 ； 恒成立，故 单调递增。
记 ，则由 知

• 时， 单调递减；

• 时， 单调递增。

由已知 ，不妨设 ，则有

整理得

由 知

记 ，则有

由 单调递增且 知，，即 ，故

证毕。

(2) 证明：；。

• 当 时， 恒成立， 单调递增，由 ， 知，存在唯一的 满足 ，且 时，， 单调递减； 时，， 单调递增。
  由 知 ，故

  恒成立。设 ，则 ，故
  ​ 时，， 单调递增； 时，， 单调递减。
  由 知，。
  设 ，则 ，故 时，， 单调递增，故

  即当 时， 最多只有一根（恰相切），由于 最多只有两根，故 最多有三根，不满足题意，舍弃。

• 当 时，，且 时，， 单调递减； 时，， 单调递增，故

  • 当 时，，故 恒成立，则 单调递增， 至多两根，不满足题意，舍弃。

  • 当 时， 存在两零点 ，满足

    整理，有

    故 时，， 单调递增； 时，， 单调递减； 时，， 单调递增。

    考虑 ，，均负，且 ，，，故 四个区间内应各存在方程 的一根，即需满足

    整理，得

    由前知， 时，，故 均符合，由 知，，代入 得

    综上所述，。