题目大意
对于由 个非负整数组成的序列 ，要进行 次操作，每次操作需选定序列中两个相邻的数，将这两个数的均值放到原序列中这两个数之间的位置，并删除这两个数。易知进行 次操作之后只剩下一个数，求这个数的期望并对 取模。
解题思路
易知即求不同操作顺序下期望值的平均值，得到式子：
其中 表示每种情况的操作完毕后 的修饰系数（即权重），由于系数一定为 （ 为自然数），于是考虑将上式化简，得到：
其中 表示所有情况的 修饰系数的加和。
于是问题转化为如何求 ，枚举可知：
- 当 时，。
- 当 时，，。
- 当 时，，，。
- 当 时，，，，。
- 当 时，，，，，。
于是将它们写在一起即有：
可以看到非常像杨辉三角，实际上，它也具有与杨辉三角类似的性质：
- 每一行的首项为 （ 为双阶乘）。
- 每一行都是左右对称的。
- 每一行非首项/末项的数都可由它上一行的相邻两个数推出。
例：， 等等。
记第 行第 个数为 ，则易得递推公式：
根据 ， 可求出通项公式：
然而得到这样的结果我们是不满意的，因为暴力计算 个组合数的时间复杂度为 ，于是考虑进行作商，得到：
于是我们可以在线性时间内计算出 。
几个需要注意的问题：
- 记得开
long long。
- 逆元开销较大，尽量将分母一次性计算完毕之后再求逆元。
- 要经常取模，否则会爆（）。
附上我的 AC 代码（500 ms 左右）：
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| #include<bits/stdc++.h>
#define debug puts("bug\n")
#define int long long
#define mod 998244353
using namespace std;
int read() {
int x = 0, f = 1;
char ch = getchar();
while (ch > '9' || ch < '0') {
if (ch == '-') f = -1;
ch = getchar();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
return x * f;
}
void write(int a) {
if (a < 0) {
putchar('-');
a = -a;
}
if (a > 9) write(a / 10);
putchar(a % 10 + '0');
}
int quick_power(int a, int b, int p) {
int ans = 1;
while (b > 0) {
if (b & 1) {
ans *= a;
ans %= p;
}
a *= a;
a %= p;
b >>= 1;
}
return ans;
}
int inverse(int a, int b) {
return quick_power(a, b - 2, b);
}
vector<int> weight;
int start;
int down;
void init_start(int n) {
start = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
start *= (2 * i - 1);
start %= mod;
}
}
void init_down(int n) {
down = 1;
for (int i = n; i >= 1; i--) {
down *= i;
down %= mod;
down <<= 1;
down %= mod;
}
}
void init(int n) {
weight.emplace_back(start);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int temp = weight[i - 1] * (n - i + 1) % mod;
temp = temp * (2 * i - 1) % mod;
int now = (2 * n - 2 * i + 1) * i % mod;
now = inverse(now, mod);
temp = temp * now % mod;
weight.emplace_back(temp);
}
}
int sum;
int ans;
signed main() {
int n = read();
init_start(n - 1);
init_down(n - 1);
init(n - 1);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int temp = read();
sum += (temp * weight[i - 1]) % mod;
sum %= mod;
}
ans = inverse(down, mod);
ans = (sum * ans) % mod;
write(ans);
return 0;
}
|
当你回首你曾经走过的路时，你会发现，这几年的付出，虽有艰辛，却换来了成长和进步。